Даны два числа- х и у. Известно, что их сумма и произведение(т.е. х+у и ху) -целые....

Question

Даны два числа- х и у. Известно, что их сумма и произведение(т.е. х+у и ху) -целые. докажите, что х в 8ой степени +у в 8ой степени тоже целое

Answer 1

Это тождество легко проверяется последоватльным раскрытием скобок, начиная с самых внутренних. Видим, что вначале получается , потом оно возводится в квадрат и вычитается удвоенное произведение квадратов х и у. Получается . Потом это опять возводится в квадрат и вычитается удвоенное произведение. Т.е. сумма восьмых степеней есть умножение и вычитание целых чисел (x+y) и xy, значит она тоже - целое число.