Эти слова могут иметь общий корень, хотя происхождение слова древний филологам не вполне ясно.
Дерево воспринимается как самый стойкий материал, способный сохранять свои свойства многие столетия. С этим его качеством может быть связано слово древний.
Другая причина считать эти слова однокоренными та, что говоря о генеалогии, мы употребляем понятие "древо рода", связывая таким образом слова древо и древний.