Родился в Москве, в семье выпускника, Московской консерватории композитора и педагога Константина Михайловича Щедрина (1894—1955) и экономиста, любительницы музыки Конкордии Ивановны Щедриной (урожд. Ивановой) (1908—1999)
Первым учителем музыки Р. К. Щедрина стал его отец Константин Михайлович, который родился в селе Воротцы Тульской губернии, а детство провёл в Алексине под Тулой. Он был одарён редкостными музыкальными способностями — «магнитофонной» памятью (запоминал музыку с одного раза), абсолютным слухом. Его способности заметила приезжавшая в город актриса В. Н. Пашенная, которая за свой счёт отправила мальчика в Москву, где он окончил Московскую консерваторию.