Задать вопрос

Помогите решить задания с 3-6

0 голосов
54 просмотров

Помогите решить задания с 3-6

image
спросил от (15 баллов) в категории Математика

1 Ответ

0 голосов
ответил от
 
Лучший ответ
3) Воспользуемся формулой: \cos \alpha +\cos \beta = \dfrac{\cos( \alpha + \beta )+\cos( \alpha - \beta )}{2}
\cos(3x+4x)+\cos(3x-4x)-\cos 7x=\cos 7x+\cos x-\cos7x=\cos x
Упростим значение выражения:
\cos \frac{x}{2} = \sqrt{0.8}
Возведем обе части в квадрат, получим:
\cos^2 \frac{x}{2} =0.8
По формуле понижения степеней:
\dfrac{1+\cos x}{2} =0.8\\ 1+\cos x=1.6\\ \cos x=0.6


Ответ: 0.6

4) \cos ( \frac{ \pi }{2} +x)=-\sin x отсюда \sin x=- \dfrac{12}{13}
В 3 четверти косинус отрицателен, значит:
\cos x= -\sqrt{1-\sin^2x} =- \dfrac{5}{13}

По условию найдем значение выражения:
tg 2x= \dfrac{\sin2x}{\cos2x}= \dfrac{2\sin x\cos x}{\cos^2x-\sin^2x} = \dfrac{2\cdot \frac{5\cdot 12}{169} }{ \frac{25}{169} - \frac{144}{169} } = \dfrac{2\cdot5\cdot12}{(5-12)(5+12)} = -\dfrac{120}{119}

5) \cos3x-\cos 9x+ \sqrt{3} \sin2x=0
Воспользуемся формулой: \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{ \alpha + \beta }{2} \sin\frac{ \alpha - \beta }{2}

-2\sin\frac{5x+9x }{2} \sin\frac{ 5x-9x }{2} + \sqrt{3} \sin 2x=0\\ 2\sin 7x\sin 2x+\sqrt{3} \sin 2x=0\\ \sin2x(2\sin 7x+\sqrt{3} )=0
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю

\sin2x=0\\ 2x=\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ x= \dfrac{\pi k}{2} ,k \in \mathbb{Z}

\sin 7x=- \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ x=(-1)^{k+1}\cdot \dfrac{\pi}{21} + \dfrac{\pi n}{7} ,n \in \mathbb{Z}

Отбор корней:
k=0;\,\,\, x=0\\n=1;\,\,\, x= \dfrac{\pi}{21} + \dfrac{\pi}{7} = \dfrac{4\pi}{21} \\ \\ n=2;\,\,\, x=- \dfrac{\pi}{21} + \dfrac{2\pi}{7} = \dfrac{5\pi}{21}


5) \sqrt{3} \sin 3x+\cos 3x=1
Формула: a\sin x\pm b\cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin (x\pm \arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} )
В нашем случае:
\sqrt{3+1} \sin (3x+\arcsin \frac{1}{ \sqrt{3+1} } )=1\\ 2\sin(3x+ \frac{\pi}{6})=1 \\ \\ 3x+ \frac{\pi}{6}=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ 3x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6}- \frac{\pi}{6}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\, |:3\\ \\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{18}- \frac{\pi}{18}+ \frac{\pi k}{3},k \in \mathbb{Z}

2+\cos x=2tg \frac{x}{2} \\ \\ 2+\cos x= 2\cdot\frac{1-\cos x}{\sin x} |\cdot \sin x\\ \\ 2\sin x+\sin x\cos x=2-2\cos x\\ 2(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x-2=0
Представим число 2=2(\sin^2 x+\cos^2 x)
2(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x-2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0
Добавим и вычтем слагаемые \sin 2x:
2(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x-2(\sin^2x+\sin2x+\cos^2x-\sin 2x)=0\\ 2(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x-2(\sin x+\cos x)^2+2\sin2x=0\\ 2(\sin x+\cos x)^2-5\sin x\cos x-2(\sin x+\cos x)=0
Пусть \sin x+\cos x=t\,\,\,\, (\star), причем |t| \leq \sqrt{2}
Возведем обе части в квадрат: 1+2\sin x\cos x=t^2, отсюда \sin x\cos x= \frac{t^2-1}{2}

Заменяем:

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=2t%5E2-5%5Ccdot+%5Cdfrac%7Bt%5E2-1%7D%7B2%7D+-2t%3D0%7C%5Ccdot+2%5C%5C+%5C%5C+4t%5E2-5%28t%5E2-1%29-4t%3D0%5C%5C+4t%5E2-5t%5E
© 2008-2025. Сайт Правильные Решения и Ответы.
...