По окружности красным карандашом записали 49 различных натуральных чисел, меньших 100....

0 голосов
49 просмотров

По окружности красным карандашом записали 49 различных натуральных чисел, меньших 100. Между каждыми двумя соседними красными числами записали си-ним их наибольший общий делитель. Могло ли случиться, что все синие числа различны?


спросил от Начинающий (573 баллов) в категории Математика

1 Ответ

0 голосов
ответил от Архангел (148k баллов)
 
Лучший ответ

Не могло.

Заметим, что для двух неравных натуральных чисел n < m наибольший общий делитель не превышает [m/2], где квадратные скобки означают округление вниз до ближайщего целого. Тогда среди всех чисел, меньших 100, наибольшие общие делители могут принимать значения от 1 до 49 — всего 49 вариантов. Так как синих чисел как раз 49, то каждое число от 1 до 49 написано по разу.

Простые числа 41, 43 и 47 должны быть написаны синим. Существует только один способ получить такие числа: надо написать рядом красные 41 и 82, 43 и 86, 47 и 94. Поскольку все остальные числа взаимно просты с 41, 43 и 47, то радом с красными 41, 43 и 47 будут написаны по синей единице, и синих единиц будет не меньше двух.

оставил комментарий от Одаренный (3.7k баллов)

[m/2], Что значит

оставил комментарий от Одаренный (3.7k баллов)

???

оставил комментарий от (14 баллов)

49 же чисел, алло

оставил комментарий от Начинающий (573 баллов)

Nelle987, синих чисел же 49?

оставил комментарий от Архангел (148k баллов)

Точно, сейчас поправлю.

...