Разложить функцию в ряд Маклорена y=ln(1+4x)

Question

Разложить функцию в ряд Маклорена y=ln(1+4x)

Answer 1

Y'=4/(1+4x)
y''=(4'*(1+4x)-4*(1+4x)')/(1+4x)²=(0*(1+4x)-4*4)/(1+4x)² = -4²/(1+4x)²
y'''=(0*(1+4x)²+4²*2(1+4x)*4)/(1+4x)⁴=4³*2/(1+4x)³
y⁽⁴⁾=-4³*2*3*(1+4x)²*4/(1+4x)⁶=-4⁴*2*3/(1+4x)⁴
...
...
R⁽ⁿ⁾=((-1)ⁿ⁺¹ *4ⁿ * n!)/(1+4x)ⁿ

f(x)=∑n=0 n->∞ f⁽ⁿ⁾(a)*(x-a)ⁿ/n!  это будет ряд Тейлора
А при значении a=0 будет ряд Маклорена, остаточный член в точке 0 будет
((-1)ⁿ⁺¹ *4ⁿ * n!)/(1+4*0)ⁿ = (-1)ⁿ⁺¹ *4ⁿ * n!
f(x)=∑n=0 n->∞ f⁽ⁿ⁾(0)*xⁿ/n! = 0+∑n=1 n->∞ (-1)ⁿ⁺¹ *4ⁿ * n!*xⁿ/n! =
f(x)=∑n=1 n->∞ (-1)ⁿ⁺¹ *(4x)ⁿ

Comments

Разве это Маклорена,не Тейлора?

---

если при ряд Тейлора a=0 то раложение называют рядом Макларена

---

похоже что не правильно написал, поторопился

---

теперь должен быть в норме

---

Спасибо!